1．1．2余弦定理 1 课型 新课 （第3课时）

【教学目标】

1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向同理可证 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cosA cosB cosC

量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重、难点】

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

一、阅读教材在P5----P7页，完成以下问题：

．正弦定理：abc

sin A＝sin Bsin C

2R的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；

(2)asin Absin B＝c

sin Ca＋b＋csin A＋sin B＋sin C

______； (3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；

(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝____________.

．三角形面积公式：S＝__________＝____________＝______________= 预习课本完成以下公式

a2 b2 c2

cosA cosB cosC 二、例题讲解：

如图1．1-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和 C，求边c (图1．1-4)[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A

如图1．1-5，设CB a ，CA b ， AB c ，那么c a b ，则 b c

2

c c a b a

a a

b

a b b 2

2a 2a b

b C a2从而 c2 a2 b2 2abcosC (图1．1-5)

例1．在 ABC中，已知a ，cB 600，求b及A

例2. 例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2

2x 2 0的两根，2cos A B 1。

（1） 求角C的度数； （2） 求AB的长；

（3）求△ABC的面积。 三、针对训练：

1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A．900

B．1200

C．1350

D．1500

2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.

5 318

B.

4

C.

2 D. 78

4.在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2 c2 b2)tanB 3ac，则角B的值为（ ） A.

6

B.

3 C. 5 6

或6

D.

3

或2

3

理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

若 ABC中，C=900，则cosC 0，这时c2 a2 b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

学海无涯苦作舟 1

书山有路勤为径