特殊的正交基与正交变换

特殊的正交基与正交变换

任丽君（200411033）

数学科学学院04级1班 指导老师：阿勇嘎

摘 要：利用欧氏空间的内积给出了准正交基、准正交变换、拟正交基和拟正交变换的概念, 研究它们与正交矩阵之间的关系,推广了正交基、正交变换等结果. 关键词：正交基；准正交变换；拟正交变换；正交矩阵

一、 引 言

本文主要讨论了特殊的正交基与正交变换的一些性质.在讨论过程中所用到的定义，以下面8个定义形式给出：

定义]5[1设=∈∈j i n R c V ααααα,,,,,21若

≠=j

i j

i c

0,(n j i ,,3,2,1, =) 则称n ααα ,,21为n 维欧氏空间V 的c - 准正交基

定义]6[2 设τ是欧氏空间V 的一个对称变换,如 α∈V , α≠0 恒有

αατ),(> 0 ,则称τ为V 的一个正定变换.

定义]6[3 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称

τ

ττβαβ

ατθ),(arccos =

为α与β的τ-拟夹角.

定义]6[4 设τ是欧氏空间V 的一个正定变换,α,β∈V ,如果βατ),(= 0 ,则称α与β是τ-拟正交的.

定义]6[5 n 维欧氏空间V 的一个基{n ααα ,,21}称为V 的-τ拟正交基，

=j i αατ),(若

≠=j i j

i 当当01,(n j i ,,3,2,1, =)

即基向量的拟长度都是1 ,且是两两拟正交的.

定义]6[6 设τ是V 的正定变换,称αατ),(为向量α∈V 的τ-拟长度,记为τα. 设α,β是V 的两个非零向量,则称