2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准
一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0(v0 0). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g.
参考解答：
以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v分解成纬线切向 (水平方向)分量v 及经线切向分量v . 设滑块质量为m，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心O的连线与水平方向的夹角为 . 由机械能守恒得
121212mv0 mgRsin mv mv (1) 222
这里已取球心O处为重力势能零点. 以过O的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故
mv0R mv Rcos .
(2)
由 (1) 式，最大速率应与 的最大值相对应
vmax v( max). 而由 (2) 式，q不可能达到π
(3)
2. 由(1)和(2)式，q的最大值应与v 0相对应，即
v ( max) 0. (4) [
(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得
2gRsin v0tan v 0. 若sin 0，由上式得
2
2
2
sin 2gR
. 22
cos v0
实际上，sin =0也满足上式。由上式可知 由(3)式有
v ( max) 2gRsin max v0tan max 0.
2
2
2
sin max2gR
. 22
cos maxv0
(4’)
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