2009年全国高中数学联合竞赛试题 (第一试)
高中数学竞赛
2009年全国高中数学联合竞赛试题（第一试）一、填空题（每小题7分，共56分）
x ,且f(n)(x)= 1.若函数f(x)= f (f ( f(x) )).则f(99)(1)= 2 1+xn个 .
2.已知直线l:x+y-9=0和⊙M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,点A在l上,B、C为⊙M上的两点.在△ABC中,∠BAC=45°,AB过圆心M.则点A的横坐标范围为 .
y≥0 3.在坐标平面上有两个区域M、N,M为 y≤x,N是随t变化的区域,它由不等式t≤x≤t+1所 y≤2-x
确定,t的取值范围是0≤t≤1.则M和N的公共部分的面积是函数f(x)= .
11114.使不等式 + + + <a-2007 对一切正整数n都成立的最小正整数a的值n+1n+22n+13
为 .
22yx 5.椭圆 =1(a>b>0)上任意两点P、Q,若OP⊥OQ,则 OP OQ 的最小值为 .2+ab2
6.若方程lgkx=2lg(x+1)仅有一个实根,则k的取值范围是 .
7.一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行.则最后一行的数是
数表示）.
8.某车站每天早上8:00～9:00、9:00～10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律见下表.一旅客8:20到站.则他候车时间的数学期望为（精确到分）.
到站时刻
概 率8:10～9:10 8:30～9:30 8:50～9:50 （可以用指
二、解答题（共44分）
y2x2x2 9.(14分)设直线l:y=kx+m(k、m∈Z)与椭圆+=1交于不同的两点A、B,与双曲线161242 y- =1交于不同的两点C、D.问：是否存在直线l,使得向量AC+BD=0?若存在,指出这样的直线12
有多少条;若不存在,请说明理由.
10.(15分)已知p、q(q≠0)是实数,方程x2-px+q=0有两个实根α、β,数列{an}满足a1=p,a2=p2-q,an=pan-1-qan-2(n=3,4, ).
(1)求数列{an}的通项公式（用α、β表示）;
1(2)若p=1,q= ,求{an}的前n项和.4
11.(15分)求函数y= x+27+ 13-x+ x的最大值和最小值.
