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点、线、面之间的位置关系

【基础回顾】

一、三个公理和三条推论

公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。

公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。

公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

二、平行和垂直位置关系的判断方法 1、两直线平行的判定：

（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；

（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；

（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 2、两直线垂直的判定： （1）勾股定理

（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直；

（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线； （4）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条

（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（6）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 3、直线与平面平行的判定和性质：

（1）判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；

（2）面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。

4、直线和平面垂直的判定和性质：

（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5、两个平面垂直的判定和性质：

（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（2）定义法：即证两个相交平面的二面角为直角； 6、两个平面平行的判定和性质：

（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。