二重积分

利用直角坐标计算二重积分

1）当()():,D a x b x y x ψ≤≤≤≤时，

()()()

()

,,b

x a

x D

f x y dxdy dx f x y dy ψ =

其中：a 为区域D 上x 的最小取值，b 为区域D 上x 的最大取值，()y x =是区域的下边界曲线，()y x ψ=是区域的上边界曲线。 2）当()():,D a y b y x y ψ≤≤≤≤时

()()()

()

,,b

y a

y D

f x y dxdy dy f x y dx ψ =

其中：a 为区域D 上y 的最小取值，b 为区域D 上y 的最大取值，()x y =是区域的左边界曲线，()x y ψ=是区域的右边界曲线。

利用极坐标计算二重积分

当()():,D αθβ θρψθ≤≤≤≤时，

()()()()

,cos ,sin D

f x y dxdy d f d βψθα θθρθρθρρ=

其中：α为区域D 上θ的最小取值，β为区域D 上θ的最大取值，()ρ θ=是区域的内边界曲线，()ρψθ=是区域的外边界曲线。

对称性

1)区域D 关于x 轴()0y =对称,12D D D = ，其中12,D D 是D 被x 轴分开的两个无公共内点的区域,

则:A) (,)f x y 关于y （将x 看成常数）是偶函数时()()1

,2,D

D f x y dxdy f x y dxdy =

B) (,)f x y 关于y （将x 看成常数）是奇函数时

(),0D

f x y dxdy =

(将上面的,x y 互换即可得到关于y 轴对称函数的积分性质)

积分与积分变量选取无关。()(),,xy

st

D D f x y dxdy f s t dsdt =

特别地如果积分区域关于y x =对称，则

()(),,xy

xy

D D f x y dxdy f y x dxdy =