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ｄ）２（

浅谈微分方程的经济应用

◆孙红艳

（辽阳第～－￥ｔ业巾专）

【摘要】数学方法在理学、工学、管理学、经济学等各个领域都发挥财富的能力，支出就是指财政支出了，如果收入远大于支出，那么

了重要作用。利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供国家就不会发生债务问题，所谓的债务闯题就如同个人用信用卡

给量）之间的函数关系，预测可再生资源的产量、预测商品的销售透支一样，这个月只赚了１００００，却要用卡再透支５０００，想着下月量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系等问题。本文简要微分再还吧，但下个月还是花了１２０００，又欠了２０００元，这样日积月累方程在具体的经济实践中的应用。【关键词】数学方法

微分方程

经济应用

下来，就积累了不少的债务，同样的道理在经济好的时候，高额的债务还可以维持，在经济Ｆ滑的时候，由于政府收入锐减，而且什么对冲，调期等冲减手段都不管用，主权债都没人要的地步，这就

数学作为一门理论学科，通过辨证思维的统一和归纳，深入揭示问题的本质和规律，对于解决问题有了更为简便和实用的方法。因而，数学方法在理学、工学、管理学、经济学等各个领域都发挥了重要作用。随着经济的高速发展，高等数学中的一些方法在经济中的应用更为广泛，本文将探讨如何将抽象的数学理论应用到具体的经济实践中去，促进经济的发展。

利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系，预测可再生资源的产量、预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系等问题。

商品供求状况的变化与价格的变动是互相影响、互相制约的。商品价格与供给成反比，供给增加，价格下降：供给减少，价格上升。商品价格与需求成正比，需求增加，价格上升；需求减少，价格下降。在其他阗素不变的条件下，供给和需求的任何变化，都可能影响商品价格变化，一方面，商品价格的变化受供给和需求变动的影响：另一方面，商品价格的变化又反过来对供给和需求产生影响：价格上升，供给增加，需求减少；价格下降。供给减少，需求增加。这种供求与价格吒相影响、互为困果的关系，使商品供求分析更加复杂化，即不仅要考虑供求变动对价格的影响，还要考虑价格变化对供求的反作用。利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系。

ｌ、某商品的销售黉ｘ是价格Ｐ的函数，如果要使该商品的销售收入在价格变化的情况下保持不变，则销售量Ｘ对于价格Ｐ的函数关系满足什么样的微分方程？在这种情况Ｆ，该商品的需求量相对价格的弹性是多少？

我们由题意得销售收入曰（功＝尸 ｘ（Ｄ＝Ｃ（常数），求导后得Ｊ

到了国家破产的时候。我们叮以用下面这个例题来分析～下收入、支出与时间ｔ的函数关系。

３、已知某地区在一个已知时期内国民收入的增长率为去国民债务的增长率为国民收入的丢．若ｔ＝Ｏ时，国民收入为５亿元，国

民债务为０．１亿元．试分别求出国民收入及国民债务与时间ｔ的函数关系。

解：设该时期内任一时刻的国民收入为ｙ＝ｙ（ｔ），国民债务为

Ｄ＝Ｄ（ｔ），由题意我们知道要＝去

一ｄＤ＝上．ｙ２０

ｔ

（１）一

由（１）得ｙ：羔ｔ＋ｃ，：根据ｔ＝Ｏ时，ｙ＝５，得ｃｌ－５，故ｙ＝羔ｔ＋５（３）

根据上述可知百ｄＤ＝击（古ｔ＋５），于是，Ｄ（ｔ）２击￡２＋｝￡＋Ｃｚ

由ｔ＝Ｏ时，Ｄ＝ｏ １，可知乒击，故Ｄ（ｔ）２击ｔ２＋｝ｔ＋古

因此，国民收入为ｙ（ｔ）２击￡＋５’国民债务为口（ｔ）５击ｔ２＋｝‘＋击

在经济社会中，企业生产产品，销售商品，最终目的是赚取利润，实现利润最大化是企业的最终目标，影响的因素很多，主要有两个方面，一是扩大产品收入，利润是收入创造的．没有收入上量的保障．利润是无从谈起的。二是严格控制成本和费用支出，在利润增加的ＩＪＪ时，成本和费用的支出的越少，利润就越大。所以严格控制成本和费用的支出很重要。在企业日常经济活动中，在收入一定的情况下，尽量降低成本，町以给氽业带来更大的利润。

４、某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本ｙ

（Ｄ＋Ｐｘ’（Ｐ）＝０，即乌笋一号孕，且争＝｝。争一｝‘争：一－

２、已知某商品的需求量Ｑ与供给量Ｓ都是价格Ｐ的函数：Ｏ＝Ｏ（ｔ９＝鲁，ｓ＝ｓ（一＝ｂＰ。其中ａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ为常数，价格Ｐ是时间ｔ的

对汽车大修时间间隔Ｘ的变化率等于呈Ｌ一婴已知当大修时间间隔

ｘ＝ｌ（年）时，总维修成本ｙ＝２７．５（百元）．试求每辆汽车的总维修成本Ｙ与大修的时间间隔Ｘ的函数关系。并问每辆汽车多少年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？

ｆ

函数，且满足婴＝ｌ＜［ｏ（一一ｓ（一］（Ｋ为正常数），假设当ｔ＝Ｏ时，价格为

１，试求：

（１）需求量等于供给量的均衡价格ｐ．－（２）价格函数Ｐ（ｃ）：

（３）ｌｉｍＰ（ｔ）

解：设时间间隔Ｘ以年为单位，由题意Ⅱ丁知ｌ

ｄ！一２１—８１ｄｔｘ】【２

【ｙＩ，．＝２７．５

由ｙＩ．ｔ＝２７．５可得ｃ：睾．因此严兰Ｌ＋睾一

又ｙ，：一呈至＋Ｊｒ，令ｙｌ：０，得ｘ＝３（负根舍去）．ｙ，＝至生＋１．ｙ－（３）＞ｏ．

解：（１）由鲁＝ｂＰ即得心＝（告）３

上

因此ｘ＝３是Ｙ的极小值点，从而也是最小值点，即每辆汽车３年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低。

在经济学中经常提到货币的时ｆＢＪ价值，所谓货币时间价值是指货币随着时『日Ｊ的推移而发生的增值。是资金周转使用后的增值额。也称为资金时间价值。专家给出的定义：货币的时『ＨＪ价值就是指当前所持有的一定昔货币比未来获得的等量货币具备更高的价值。从经济学的角度而言，现在的一单位货币与未来的一单位货币的购买力之所以不同，是闪为要节省现在的一单位货币不消费而改在未来消费，则在未来消费时必须育大于一（下转第５６页）

（２）由（１）得｝＝踞将其代入方程．得到百ｄＰ＝告（Ｐ－Ｌ一，即茬告

＝－ｋｂｄｔ．两边积分，得肚聃凸一．将ｔ＝Ｏ，Ｐ＝Ｉ代入上式，得ｃ：ｌ—砰，于

是Ｐ（ｔ）：ｆ盼（１一聃ｅ一１＋．

（３）因为１ｉ－ｅ－ｌ／ｍ：ｏ．（ｋ＞０．ｂ＞ｏ）．故１ｉｍＰ（ｃ）＝只

尽管我们不愿意将国家的经济问题简化到有借必有贷，借贷必相等的会计公式，但事实就是如此。对于一国而言，收入即创造

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万方数据