推理与证明

要点1：合情推理

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：

① cos2a=2cos② cos4a=8cos

24

a-1;

a- 8cos2a+ 1;

6

③ cos6a=32cos

a- 48cos4a+ 18cos2a- 1;

8

④ cos8a=128cos

a- 256cos6a+ 160cos4a- 32cos2a+ 1;

a- 1280cos8a+ 1120cos6a+ ncos4a+ pcos2a- 1.

⑤ cos10a= mcos

10

可以推测，m – n + p = .

【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，

m 1280 1120 n p 1 1， m n p 162

，又

p 10 5 50,m 92 512 m n p 962． 【答案】962．

， n 400，

要点2：演绎推理

例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设n 2,n N,(2x

1n1

) (3x )n a0 a1x a2x2 anxn， 23

将

ak(0 k n)的最小值记为Tn，则T2 0,T3

1111 ,T 0,T , ,Tn, 4523332535

其中Tn=__________________ .

1111

T T 535335TnT2 0,T4 0T 0nn2323 当为偶数时，【规范解答】观察表达式的特点可以看出， ，；，,当n为偶数时 0

T 11n11

n,当n为奇数时Tn n n n23 23． 当n为奇数时，【答案】．

要点3：直接证明与间接证明

例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已

知

集

合

， ，

Sn {XX (x1,x2, ,xn),xi {0,1},i 1,2, ,n}(n 2)

对于

A (a1,a2,...,an)

，

B (b1,b2,…bn,) Sn，定义A与B的差为A B (|a1 b1|,|a2 b2|,…|an bn|);

A与B之间的距离为d(A,B)

ai bi

i 1

n

（Ⅰ）当n=5时，设A (0,1,0,0,1),B (1,1,1,0,0)，求A B，d(A,B)；

（Ⅱ）证明： A,B,C Sn,有A B Sn，且d(A C,B C) d(A,B); (Ⅲ) 证明： A,B,C Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 【思路点拨】（I）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．