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组合数学讲义2

二项式系数

组合数的简单结论

二项式的系数实际就是一个组合数。

n n n n! 前面已经得到公式 ， kkn kk!(n k)! n n 1 n 1

以下证明一个非常重要的公式 k k k 1

证明：

方法1、代数法：由右至左。（略）

方法2、组合证明，从组合数的意义来说明。 构造计数方法，采用算两次的方法。S有n个元素，计算其k元子集的个数。

n k 显然是一个答案；采用第二个计算方法是在S中选择一个元素x，那么

n 1 n 1

S的k元子集分成两类，一类是含x的（ ，一类是不含x的（ 。 k 1 ） k ）

利用加法原理，可得结果。

例1 S={x, a, b,,c,d}，求其三元子集。

xab，xac，xad，xbc，xbd，xcd，abc，abd，acd，bcd

5 4 4 验证以上公式 10 6 4 323

n

提供了一个采用递推的方法来实现组合计算。 k

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