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第三章 函数

一、基础知识

定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B

中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射． 定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x， y∈A， x y， 都有f(x) f(y)则称之为单射．

定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射．

定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B．

定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数．A称为它的定义域，若x∈A， y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象．集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0，x∈R}.

定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x， y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y=

11

的反函数是y=1-(x 0). 1 xx

定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称．

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质．

（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1， x2∈I并且x1< x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x-)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间． （2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期． 定义8 如果实数a<b，则数集{x|a<x<b， x∈R}叫做开区间，记作（a，b），集合{x|a≤x≤b，x∈R}记作闭区间[a，b]，集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间（a，b]，集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a， b)，集合{x|x>a}记作开区间（a， +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞，a].

定义9 函数的图象，点集{(x，y)|y=f(x)， x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域．通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a，b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称．

定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”．例如y=（-∞，2）上是减函数，y=

1

， u=2-x在2 x

11在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞，2）上是增u2 x

函数．

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减．这里不做严格论证，求导之后是显然的．

二、方法与例题

1．数形结合法．