1993年全国高中数学联合竞赛试卷

第 一 试

一．选择题(每小题5分，共30分)

1． 若M＝{(x，y)| |tg y|+sin2 x=0}，N＝{(x，y)| x2+y2≤2}，则 M∩N 的元素个数是（ ?

(A)4 (B)5 (C)8 (D)9

2． 已知f(x)＝asinx+b+4(a，b为实数)，且 f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）

(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值

3． 集合A，B的并集 A∪B ＝{a1，a2，a3}，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（ ）

（A）8 （B）9 （C）26 （D）27

4． 若直线x＝π/4 被曲线C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( )

(A)π/4 (B) π/3 (C)π/2 (D)π

5． 在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin((C-A)/2)+cos((C+A)/2)的值是( )

(A)1 (B)1/2 (C)1/3 (D)-1

6．设m，n为非零复数，i为虚数单位，z∈C,则方程| z＋ni|＋| z－mi|＝n与| z＋ni|－|z－mi|＝－m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )

二．填空题（每小题5分，共30分）

1． 二次方程(1－i)x2+(λ+i)x+(1+iλ)＝0(i为虚数单位，λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．

2． 实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝5，设 S＝x2＋y2，则_______．

3． 若z∈C，arg(z2-4)＝5π/6，arg(z2+4)＝π/3，则z的值是________．

4． 整数的末两位数是_______． （注：[a]表示不大于a的最大整数）

5． 设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使log(x0/x1)1993+log(x1/x2)1993+log(x2/x3)1993≥klog(x0/x3)1993恒成立，则k的最大值是_______．

6． 三位数(100，101，…，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．