让小题焕发光彩(论文)

让小题焕发光彩

福建省漳平第一中学 蒋振滨

一、试题呈现

已知),0(,2cos sin πααα∈=-，则αtan = .

评注：本道题是2012年辽宁卷理科第7题，是一道选择题，笔者以填空题呈现，本题主要考查同角三角函数的关系，考查化归与转化思想，从题面上看简洁清楚，容易解答，笔者在一轮复习中使用了本题，从解题方法及其变式进行了探究.

二、解法探究

（1）利用方程思想解答：

由 =+=-1

cos sin 2cos sin 2

2αααα 得01cos 22cos 22=++αα 解得2

2cos -

=α ∵),0(πα∈，∴2

2sin =α ∴1cos sin tan -==

α

α

α 评注：看到与ααcos ,sin 有关的三角等式，很自然想到1cos sin 2

2

=+αα，两个方程两个未知数，求出ααcos ,sin 顺理成章，进而由α

α

αcos sin tan =可求αtan . （2）平方法1：

两边平方得2)cos (sin 2

=-αα

∴2cos sin 21=-αα ∴12sin -=α ∵),0(πα∈ 又12cos sin >=-αα ∴),2(

ππ

α∈ ∴)2,(2ππα∈ ∴232πα= ∴4

3π

α=

∴1tan -=α

评注：由题面不难想到1cos sin 2

2=+αα，平方展开后得2cos sin 21=-αα，从式

子的特征很自然的看到了正弦的二倍角公式，但所求角为α，求出12sin -=α后需对α的范围做进一步的判断，因此本法较为繁琐. （3）平方法2：

两边平方得2)cos (sin 2

=-αα