涉及多项式的一些组合恒等式

冯玉翠

(河南大学数学与信息科学学院,河南开封,475001)

摘要： 本文通过讨论与Fibonacci 和Lucas 多项式有关的多项式，得出了若干性质和一些组合恒等式.

关键词：Fibonacci 多项式； Lucas 多项式；组合恒等式 中图分类号：O157.1

1 引言

在Z.H.Sun [1]的文章中，令Q=x ，得到了两个多项式),(x P U n 和),(x P V n ：

,(),(),(1

1x P xU

x P PU x P U n n n -+-=

0),(0=x P U 1),(1=x P U ；

并且

,(),(),(11x P xV x P PV x P V n n n -+-= （1.1）

0),(0=x P V 1),(1=x P V .

当P=1，x=-1时，得到了常见的Fibonacci 数和Lucas 数：

n F U =-)1,1(0 n n L V =-)1,1(.

引理1.1 多项式),(x P U n 和),(x P V n 的表达式分别为：

],)2

4(

)2

4[(

412

2

2

n

n

x P P x P P x

P ----+-+

P 042

≠-x P

),(x P U n =

1

)

2(-n P n ，+

P 042

≠-x P .

=),(x P V n ,)2

4(

)2

4(

2

2

n

n

x P P x P P --+-+ (1.2)

引理1.2 [2]

∑

=+

-=

2/0

1),(n k n k k n x P U k k n x p )(2--，