直线的参数方程及应用2012—4—3（文科）

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1、 直线参数方程的标准式

(1)过点P0(x0,y0)，倾斜角为 的直线l的参数方程是

x x0 tcos

（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(x

,y

)

问题2：直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系.

问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 则P1P2＝？，∣P1P2∣=？

P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，

∣P1P2∣=∣ t2－t1∣

问题4：

y y0 tsin

P0P=t ∣P0P∣=t 为直线上任意一点.

(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，

则P1P2=t2－t1 ∣P1P2∣=∣t 2－t 1∣

(3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3 则Pt1P2中点P3的参数为t3＝

1 t2

t2

2

,∣P0P3∣=

t1 2

(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P0(x0,y0)，斜率为k

ba

的直线的参数方程是

x x0 at

y y （t为参数）

0 bt

点击直线参数方程：

一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定）

求经过点P0(x0,y0)，倾斜角为 的直线l

,y

)

x x0 tcos

y y 是所求的直线l的参数方程

0 tsin

x

∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：y0)到点 P(x,y

)的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|

① 当t>0时，点P在点P0的上方； ② 当t＝0时，点P与点P0重合； ③

当t<0时，点P在点P0的下方；

特别地，若直线l的倾斜角 ＝0时，直线 x x0 t④ 当t>0时，点P在点P0的右侧； ⑤ 当t＝0时，点P与点P0重合； ⑥

当t<0时，点P在点P0的左侧；

一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，

所对应的参数分别为tt1、t2、3， P3为P1、P2的中点 则t3＝t1

t22

x

基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化

例1：化直线l1的普通方程x 3y 1＝0 义,说明∣t∣的几何意义.

点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线l x 3 t2的参数方程

y 1

3 t

（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，

说明∣t∣的几何意义.

点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线l1的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式？

例3：已知直线l过点M0（1，3），倾斜角为

3

，判断方程

x 1

12

t

（t为参数）和方

y 3 3

2t程 x 1 t

3 t

的参数方程？如果是直线l的参数方程，指出

y 3

（t为参数）是否为直线l方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.

点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.

问题5：直线的参数方程 x 1 t

y 3

3 t

能否化为标准形式？

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