圆锥曲线---参数方程

椭圆的标准方程为22

221x y a b +=，椭圆的参数方程为cos sin x a y b θθ= =

例1.把下列普通方程化为参数方程.

对应的参数方程为

例 2. 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>,求椭圆内接矩形面积

的最大值.

解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

(cos ,sin )a b θθ

4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ= =≤ 矩形

()224

k k Z S ab ππ

θ∴=

+∈=矩形当时，最大。

所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab

22

12100

94

x y M M x y +=+-=在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求例3、出最小距离

解：因为椭圆的参数方程为3cos y 2sin x

= =

（ 为参数）

所以可设点M 的坐标为(3cos ,2sin ) 。

由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为

22

1,1

2516

2x y x y z x y +==-变式：

与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数满足的前提下，求出的最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？

222(,)23122P x y x y x y +=+变式、设是椭圆上的一个动点，求的取值范围。

22

1,

64

6cos {

(02)

2sin 26cos 4sin 22cos()cos()[1,1]2[22,22]

x y x y x y x y θθθπθ

θθθ θ +==≤<=+=+=--∈-∴+∈- 解：椭圆的方程可化为它的一个参数方程为为参数，

22(1)149x y +=22

(2)116y x +=2264

100

(4)

1

y x +

=22

9

25

(3)1y x +

={2cos (1)3sin x y θθ=={

cos (2)4sin x y θθ==8cos (4)10sin x y

=

= 3cos (3)5sin x y

=

=