妙用基本不等式巧求多元式最值

作者：江志杰

来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第11期

基本不等式在求函数最值（或值域）和证明不等式方面有着很多应用，极具简洁快捷功能.然而在实际运用过程中，同学们往往缺乏对基本不等式结构及其变形、变式的深入剖析，常在适用范围、配凑整理、或取得最值条件等关键地方出现差错.加上相关题目经常创新，尤其遇

到多元式求最值或取值范围，更让同学们一筹莫展、无从下手.为此，老师通过若干典例谈谈

其化解策略.

一、妙用基本不等式的变式

基本不等式“x+y2≥xy（x，y∈R+，当且仅当x=y时取得等号）”有很多的变式结构：xy≤（x+y2）2、2（x+y）≥（x+y）2、….虽变幻多端，但只要经过适当的变形整理，都可使之恢复原形.为此，我们常对多元目标式进行配凑或变式处理，使之具备运用基本不等式的条件结构.

例1若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-23，则2a+b+c的最小值为（）

A. 3-1

B. 3+1

C. 23+2

D. 23-2

解析：注意到已知条件可化为（a+b）（a+c）=（3-1）2，且目标多元式又恰为“（a+b）+（a+c）”，将（a+b）、（a+c）分别视作两个变量运用基本不等式得：（a+b）+（a+c）≥2

（a+b）（a+c）=23-2（当且仅当b=c时取得等号）.故选D.

例2（2010年高考四川卷）设a>b>c>0，则2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2的最小值是

（）

A. 2

B. 4

C. 25

D. 5

解析：2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2=（a-5c）2+a2-ab+ab+1ab+1a（a-b）=（a-5c）

2+ab+1ab+a（a-b）+1a（a-b）≥0+2+2=4（当且仅当a-5c=0，且

ab=1，a（a-b）=1即a=2，b=22，c=25时，等号成立）.故答案选B.

点评：这个例子解决的关键在于目标多元式的变形配凑.另外，本题须强调在运用基本不

等式时，务必时刻关注取得最值时的条件是否同时具备.