现代数字信号处理课后习题解答
习 题 二
1、求证：Rx(ti,tj) Cx(ti,tj) mximxj。 证明：Rx(ti,tj) E(xi,xj)
xxp(x,x,t,t)dxdx
ij
i
j
i
j
i
j
C是协方差
与数学上的表述有些不同両 和相关函数R一样両
Cx(ti,tj) E[(xi mxi),(xj mxj)]
(x m),(x m)p(x,x,t,t)dxdx
(xx xm xm mm)p(x,x,t,t)dxdx
ii
xi
j
xj
i
j
i
j
i
j
j
i
xj
j
xi
xi
xj
i
j
i
j
i
j
Rx(ti,tj) mximxj mxjmxi mximxj Rx(ti,tj) mximxj
E( x(t1)× y(t2) ) - E(x)E(y)
2、令x(n)和y(n)不是相关的随机信号，试证：若w(n) x(n) y(n)，则mw mxm y
也就是x的自相关函数丆如题目所述両
和 w x y。 证明：(1)
222
m E[ (n)] E[x(n) y(n)]
E[x(n)] E[y(n)] mx my
2
E[( (n) m )2]
E{[x(n) y(n) (mx my)]2}
(2)
E[(x(n) mx) (y(n) my)]2
E[(x(n) mx)2] E[(y(n) my)2] 2E[(x(n) mx)(y(n) my)]
22
x y 2[mxmy mxmy mxmy mxmy]22 x y
即 x y
3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明： ①当 0时，Rx(0) Dx,Cx(0) x； ②当 时,Rx( ) mx,Cx( ) 0。 证明：（1）
2
2
222
Rx( ) E[x(t)x(t )] x(t)x(t )p(x1,x2, )dx1dx2
2
Cx( ) Rx( ) mx
Rx(0) x2(t)p(x, )dx
E[x] Dx
2
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