王高雄版《常微分方程》习题解答5.2
习题5.2
02412—02 02412—03
t2t
1.试验证 t =
2t1 0
是方程组x= 2
t2
'
1 x
2 x,x= 1 ，在任何不包含原点的区间a t b上
x2 t
的基解矩阵。
0 t2 2t ' 解：令 t 的第一列为 1(t)= 2 = 2 2t ,这时 1(t)=
t2
1
2 1(t)故 t
1
1(t)是一个解。同样如果以 2(t)表示 t 第二列，我们有 2(t)= 0 =
0 2 2 t
1
2 2(t)这样 2(t)也是一个解。因此 t 是解矩阵。又因为 t
det t =-t2故 t 是基解矩阵。
2.考虑方程组x'=A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a t b上的连续n n矩阵，它的元素为aij(t),i ,j=1,2,…,n
a) 如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x1(t),x2(t),…,xn(t)] W(t)满足下面的一阶线性微分方程W'=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]W
b) 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t0)e
'x11
'x21
解：w(t)=
.
'
tt0[a11(s) a22(s) ...ann(s)]ds'x12
t0,t [a,b]
x12'x22.xn2
...x1nx11...x2nx21
'+…+...
1...xnnxn
x12
x22. 2xn
...x1n
...x2n
..
...xnn
...x1'n
x22
.xn2
xn1
x11'
...x2nx21
+...
...xnnxn1
=
