讲 授 内 容

备 注

第13讲(第13周)

4.1 结构动力学问题有限元方法

动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象：一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如高速旋转的电机、汽轮机、离心压缩机，往复运动的内燃机、冲压机床，以及高速运行的车辆、飞行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性，是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，石化厂的反应塔和管道，核电站的安全壳和热交换器，近海工程的海洋石油平台等，它们可能承受强风、水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用。这些结构的破裂、倾覆和垮塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大的损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上也都是具有意义的课题。

动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。它是研究短暂作用于介质边界或内部的载荷所引起的位移和速度的变化，如何在介质中向周围传播，以及在界面上如何反射、折射等的规律。它的研究在结构的抗震设计、人工地震勘探、无损探伤等领域都有广泛的应用背景，因此也是近20多年一直受到工程和科技界密切关注的课题。

现在应用有限单元法和高速电子计算机，已经可以比较正确地进行各种复杂结构的动力计算，本章阐明如何应用有限单元法进行动力分析。

4.1.1 运动方程

结构离散化以后，在运动状态中各节点的动力平衡方程如下

Fi +Fd +P(t)=Fe (2-2-1)

式中：Fi、Fd、P(t)分别为惯性力、阻尼力和动力荷载，均为向量；Fe为弹性力。 弹性力向量可用节点位移δ和刚度矩阵K表示如下

Fe =K δ

式中：刚度矩阵K的元素Kij为节点j的单位位移在节点i引起的弹性力。

2δ

根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵M和节点加速度2表示惯性力如下

t

2δ

Fi M2

t

式中：质量矩阵的元素Mij为节点j的单位加速度在节点i引起的惯性力。 设结构具有粘滞阻尼，可用阻尼矩阵C和节点速度

δ

表示阻尼力如下 t

Fd C

δ 2 t

式中：阻尼矩阵的元素Cij为节点j的单位速度在节点i引起的阻尼力。 将各力代入式(2-2-1)，得到运动方程如下

2δ δM2 C Kδ P(t) (2-2-2)

t t