等差数列与等比数列

知识概要

依照某种法则排列的一列数叫做数列，数列就其本质来说是一类以正整数为自变量的函数，它是中学数学教材的重要组成部分，是与高等数学密切衔接的内容. 等差数列与等比数列是最简单的数列. 等差数列

1．定义：数列{an}若满足an an 1 d（常数），则这个数列就叫做等差数列，d叫做公差.

若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，由定义知A 2．通项公式

若等差数列的首项为a1，公差为d，则an a1 (n 1)d,n N*.对任意m,n N*，有am an (m n)d，还可写成an 3．前n项和

设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn 4．一些重要性质

(1)若m,n,p,q N*，且m n p q，则am an ap aq.

(2)若{an}是等差数列，正整数l,m,p也成等差数列，则al,am,ap必成等差数列. (3)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk,(S2k Sk),(S3k S2k), 也成等差数列. (4)当d 0时，{an}是递增数列；当d 0时，{an}是常数列；当d 0时，{an}是递减数列.

a b

. 2

an 1 an 1

. 2

n(a1 an)n(n 1)d

na1 . 22

d2d

n (a1 )n是二次函数. 22

(6)数列{an}是等差数列的充要条件是该数列的前n项和Sn An2 Bn，其中A,B至

(5)对项数n来说，an dn (a1 d)是一次函数，Sn 少有一个不为0. 等比数列

1．定义：数列{an}若满足

an

，则这个数列就叫做等差数列，q叫做公比. q（常数）

an 1

若a,A,b成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，由定义知A ab. 2．通项公式

若等比数列的首项为a1，公比为q，则an a1(

a2n 1

),n N*.对任意m,n N*，有a1

am anqm n，还可写作an an 1an 1. 3．前n项和

na1(q 1)

设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn a1(1 qn).

(q 1) 1 q

4．一些重要性质

*

(1)若m,n,p,q N，且m n p q，则aman apaq.

(2)若{an}是等比数列，正整数l,m,p成差比数列，则al,am,ap必成等比数列.