积分的理论知识

数值积分的理论及其应用

研究数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用 张冲聪

（西安文理学院 数学系 陕西 西安 710065）

摘要：数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用

的探讨是计算数学的一个重要课题，数值积分是数学上的重要课题之一，是数值分析中的重要内容之一，也是数学的研究重点。并在实际问题及应用中有着广泛的应用。常用于科学与工程的计算中，如涉及到积分方程，工程计算，计算机图形学，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义。研究方法有插值法和抽样插值法等。当然大家都知道计算积分可以借助原函数和查找积分表，但是，用这些方法只能解决很狭隘的一类积分，而且在计算的过程中，肯定会产生误差，我们要想法子使得误差尽可能的小。因此，数值积分的公式应满足：计算简单，误差小，代数精度高等。

首先，我们通过构造函数并运用罗必达法则探讨数值积分中的矩形公式，梯形公式吧，抛物线公式，高斯公式的渐进性质。结果表明，当积分区间的长度趋于零时，不但可以确定求积公式余项中的中介点的位置，还可以得到与之相应的修正公式，而且通过数 值试验还能发现经过修正后的求积公式 具有较高的 代数精确度，我们可以通过构造函数运用分部积分的方法得到矩形公式，梯形公式吧，抛物线公式，高斯公式的推广并结合一些例子。

关键字：数值积分，矩形公式，梯形公式，抛物线公式，高斯公式

近些年来，有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域，

所以研究数值积分有很重要的意义。设f是闭区间 a,b 上某一给定的可积函数，现在要计算定积分 f(x)dt，我们可以借助原函数，或借助

函数逼近的方法来计算，对于不熟悉的我们也可以借助参考积分表。但都有一定的局限性，由于许多函数的无定积分无法用简单的函数表达出来，如一些离散点上的函数。

在微积分理论中，我们知道了牛顿—莱布尼茨（N ewtou_Leibniz）

公式

f(x)dx F(b) F(a)

其中

f(x)的某一个原函数，但是对于很多实际问题都无能为力。主要原因： 1. 被积函数f(x)的原函数F(x)理论上存在，但无法用简单函数表示出来，即无

xysinx法用与上式计算，例如：e,等初等函数；

x

f(x)在闭区间 a,b 上连续，F（x）是被积函数