题型解析

类型1 .圆的综合题

例2（2007·广东茂名）如图5，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E， AE＝2， EC＝1．

（1）求证：△DEC∽△ADC. （2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明 并求出它的面积；若不是，请说明理由．

（3）延长AB到H，使BH ＝OB．求证：CH是⊙O的切线．

图分析：（1）只要证 DAC CDB即可，（2）要判断是梯形，只要说明DC∥AB即可，注意到已知条件中数量关系较多，

090考虑从边相等的角度来说明：先求DC，再说明OBCD是菱形（3）要证明“CH是⊙O的切线”，只要证明∠OCH=即可.

解：（1）因为C是劣弧BD的中点，所以 DAC CDB．因为∠DCE=∠ACD， 所以△DEC∽△ADC．

（2）四边形ABCD是梯形.

DCEC

OD证明：连接，由⑴得ACDC.因为CE 1.AC AE EC 2 1 3，

所以DC

．

由已知BC DC因为

AB

是⊙O的直径， 所以 ACB 90 ，

所以ABOBCD是菱形．所以DC∥AB，DC

2

AC2 CB2 32

2

12

．

所以AB

所以OD OB BC DC所以四边形

AB，

所以四边形ABCD是梯形．

过C作CF垂直AB于点F，连接OC

，则OB所以 CF=BC×sin60=1.5.

BC OC ，所以 OBC 60 ．

113S梯形ABCD＝CF

AB＋DC ＝ 222 所以

（3）证明：连接OC交BD于点G，由（2）得四边形OBCD是菱形， 所以OC

BD且OG GC．又已知OB＝BH ，所以BH平行且等于CD.所以四边形

BG∥CH． 所以 OCH OGB 90 . 所以CH是⊙O的切线．

BHCD是平行四边形.所以

特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC∥AB. 跟踪练习2.

（2007四川绵阳）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC = 60 ， P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q， 过点C的切线CD交PQ于D，连结OC． （1）求证：△CDQ是等腰三角形； （2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．

参考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90 ，∠ABC = 30 ，∴ ∠Q = 30 ，∠BCO = ∠ABC = 30 ． ∵ CD是⊙O的切线，CO是半径，∴ CD⊥CO，∴ ∠DCQ =30 ，∴ ∠DCQ =∠Q， 故△CDQ是等腰三角形．

（2）设⊙O的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = AB∕2 = 1，BC =∵△CDQ≌△COB，∴ CQ = BC =

．于是 AQ = AC + CQ = 1 +，

3．