第八章、非平稳时间序列分析

很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。

8.1 随机游动和单位根

8.1.1随机游动和单位根

如果时间序列yt满足模型

yt yt 1 t （8.1）

2其中 t为独立同分布的白噪声序列，Var( t) ,t 1,2, ，则称yt为标准随机游动

（standard random walk）。随机游动表明，时间序列在t处的值等于t 1时的值加上一个新息。如果将yt看作一个质点在直线上的位置，当前位置为yt 1，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（ t）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（ t与yt 1不相关），也与以前的运动历史无关（ t与yt 2,yt 3, 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。这便是 “随机游动”的由来。

随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。将（8.1）进行递归，可以得出

yt t yt 1 t t 1 yt 2 t s y0 （8.2）

s 0

2t 1。如果初始值y0已知，则可以计算出yt的方差为Var(yt) t 。由此看出随机游动在不同

时点的方差与时间t成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。下图给出了随12机游动时间序列图：

图8.1 随机游动时间序列图

将随机游动（8.1）用滞后算子表示为

(1 L)yt t （8.3）

，滞后多项式为 (L) 1 L。显然L 1是滞后多项式的根，因此随机游动是一个单位根过程（unit root process）。随机游动是最简单的单位根过程。

随机游动的概念可以进行推广。如果时间序列yt满足

yt c yt 1 t （8.4）