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数值计算方法B复习题

1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。

（1）ln(x 1) ln(x)，其中x较大

（2）x2 1 x，其中x较大 （4）1 cos2

（3）cos2(x) sin2(x)，其中x /4

2、已知函数方程f(x) 3 x ln(x) 0有一正根，请完成以下几方面的工作：

（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a0 , b0]，以便于用二分法求解；

（2）验证在[a0 , b0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1 , b1] 和[a2 , b2]； （3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a0 , b0]上能保证收敛的迭代式xk 1 (xk)。

211 x1 4 3、用Doolittle分解法求解线性方程组132 x2 6（要求写明求解过程）。 122 x3 5

4、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据

（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商； （2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(0.75)的近似值；

（3）若用y ae来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：两边取自然对数得lny=lna+bx，

bx

令u=lny，问题转化为求拟合直线u=lna+bx）；

（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算

20

f(x)dx的近似值。外推计算柯特斯积分。

5x y z 10

5、若用Jacobi迭代法求解线性方程组 2x 8y z 11：

x y 4z 3

（1）能否从系数矩阵判定Jacobi迭代求解是收敛的？请说明原因； （2）写出经过等价变换而得到的Jacobi迭代格式Xk 1 BXk f； （3）求出迭代矩阵B的行范数B

和列范数B，并说明B能否保证收敛。

6、用规范化幂法求矩阵A

30 1

0.5 10的按模最大特征值，使误差不超过。初始向量取为 41

V(0) =( 1 , 1 )T。（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。）

dy/dx xy7、用改进欧拉法求初值问题 在区间[0.0 , 1.0]上的解，取步长h=0.2。计算结果保留到

y(0.0) 1.0

小数点后面3位。

)的近似值，分别讨论两个结果8、对于函数f(x) x(x 1 x)，按下面两种方法计算f(1000

的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。例如 0.3162 10， 0.3164 10）

（1）直接按表达式计算；（2）按等价变换式f(x) x/(x 1

3

2

2

x)计算。

9、已知函数方程f(x) 2x 5 x 0在区间[2，3]上有根（令a0=2，b0=3）：