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数学奥赛辅导_第九讲_组合恒等式、组合不等式

数学奥赛辅导 第九讲 组合恒等式、组合不等式 知识、方法、技能 Ⅰ.组合恒等式 竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础,加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如

数学奥赛辅导 第九讲

组合恒等式、组合不等式

知识、方法、技能

Ⅰ．组合恒等式

竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，加以推广、补充而形① 成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如

rn r

Cn Cn

②

r 1r 1rCn C C 1nn

③ Cr nCr 1nn 1⑤

rrmmr m

④ CnCn Cn Cn m

012n

Cn Cn Cn Cn 2n

⑥ C0 C1 C2 C3 ( 1)nCn 0nnnnn组合恒等式的证明方法有： ①恒等变形，变换求和指标； ②建立递推关系； ③数学归纳法； ④考虑组合意义； ⑤母函数. Ⅱ．组合不等式

组事不等式以前我们见的不多，在其他一些书籍中组合不等式的著述也很少，但是近年来组合不等式的证明却出现在国内、国际大赛上.例如1993年中国高中数学联赛二试第二大题为：

设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1，A2 ，Am两两互不包含，试证： （1）

1

1; |AI|

i 1Cn

m

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