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数学奥赛辅导_第九讲_组合恒等式、组合不等式

数学奥赛辅导 第九讲 组合恒等式、组合不等式 知识、方法、技能 Ⅰ.组合恒等式 竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础,加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如

（2）

C

i 1

m

|AI|n

m2

|A|

其中|Ai|表示Ai所含元素的个数，CnI表示n个不同元素取|Ai|的组合数. 再如1998年第39届国际数学奥林匹克竞赛中第二大试题为：

在某一次竞赛中，共有a个参赛选手与b个裁判，其中b≥3，且为奇数.每个裁判对每个选手的评分中只有“通过”或“不及格”两个等级，设k是满足条件的整数；任何两个裁判至多可对k个选手有完全相同的评分. 证明：

kb 1 . a2b

因此我们有必要研究组合不等式的证明方法.组合不等式的证明方法有： 1．在集合间建立单射，利用集合阶的不等关系

定理，设X和Y都是有限集，f为从X到Y的一个映射， （1）若f为单射，则|X|≤|Y|； （2）若f为满射，则|X|≥|Y|. 2．利用容斥原理

例如：设元素a属于集族{A1，A2， ，An}的k个不同集合Ai1,Ai2, ,Aik，则在

2

中a被计算了k次，当k≥2时，集合Ai1,Ai2, ,Aik两两的交集共有Ck个.由于

|A|

i

i 1

n

Ck2

k(k 1)

k 1,故a在 |Ai Aj|中至少少被计算了k－1次，这样我们得到下面21 i j n

的不等式：

| Ai| |Ai|

i 1

i 1

n

n

1 i j n

|A A

i

j

|

组合不等式（*）可由容斥公式：

| Ai| |Ai|

i 1

i 1

n

n

1 i j n

|A A

i

j

| ( 1)

(n 1)

| Ai|删去右边第三个和式起的所有

i 1

n

和式得到.

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