第一章 解三角形小结与复习(学案)

【知识归类】

1．正弦定理：在△ABC中，

abc

2R sinAsinBsinC

注意：（1）R表示△ABC外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．

（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.

2.余弦定理：在△ABC中，

a2 b2 c2 2bccosA，b2 a2 c2 2accosB，c2 a2 b2 2abcosC

变形为：

b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2

cosA ，cosB ，cosC

2bc2ac2ab

注意：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边

和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用； 3.△ABC的面积公式，S

111

absinC bcsinA acsinB. 222

4.三角形形状的判定方法

常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来. 5.解三角形的应用可大体上把它分成以下三类：

（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题. 【题型归类】

题型一：正弦定理的应用

例1 （1）在△ABC中， A=30，B=45，a=6,求c； （2）在△ABC中，A=30，b=4，a=3,则cosB； （3）在ΔABC中，B=30，b=,c=150,求a.

题型二：余弦定理的应用

例2（1）在△ABC中， a=2，B=600，c=4,求b；

（2）在△ABC中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC； （3）在△ABC中， a=3，b=2，B 450,求c.

题型三：判定下列三角形的形状

例3（1）在△ABC中，已知sinA sinB sinC，判断△ABC的形状；

2

2

2

00

12

,a bc，判断△ABC的形状； 20

（3）在△ABC中，若B 60,2b a c，试判断△ABC的形状.

（2）在△ABC中，已知cosA