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高中数学联赛加试的平面几何部分的所有常用定理

梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是BP/PC*CQ/QA*AR=1 。图1

塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是 BP/PC*CQ/QA*AR/RB=1。图2

托勒密(Ptolemy)定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。图3 西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。图4

例题：

1设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。 求证： 。

【分析】CEF 截△ABD→

（梅氏定理）

【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。 2过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。 求证： 【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。

DEG 截△ABM→

（梅氏定理）

DGF 截△ACM→

（梅氏定理）

∴

=

图1 图4

图3

图

2