合作探究 高效整合

巧用简谐运动的对称性解题

乐亭县第一中学 河北 张爱民

简谐运动的特点是具有往复性，相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可

能等值反向，动能、势能一定相同。在实际问题中利用这些特点分析问题，往往会收到事半功倍的效果。

1）距平衡位置距离相同的两点加速度具有对称性。

[例1] 如图1所示，质量为m的物体在竖直弹簧上做简谐运动，当振幅为A时，木块对弹簧压力的最大

值为木块重力的1.5倍，则木块对弹簧压力的最小值为多少？欲使木块不脱离弹簧，其振幅不能超过多少？

解析 因为木块在竖直方向上做简谐运动，依题意木块在最低点时对弹簧的压力最大，在最高点对弹簧

的压力最小，在最低点根据牛顿第二定律有 N mg ma 图1

代入数据解得a 0.5g。由最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，所以最高点的加速度大小为a` 0.5g，在最高点根据牛顿第二定律有mg N` ma` 故 N` mg ma` 0.5g

要使木块不脱离弹簧，设其振幅不能超过A`，此时木块振到最高点恰在弹簧原长处，此时的最大加速度为g，由a kkx知，当振幅为A时，在最低点有0.5g A mm

k当振幅为A`时，在最高点有g A` m

由此可得 A` 2A

2）距平衡位置距离相同的两点速度具有对称性

[例2] 如图2所示，一个质点做简谐运动，先后以相同的动量依次通过A和B两点，A B 历时1s。质点通过B点后再经过1s第2次通过B点，在这2s内，质点通过的总路程为12cm，则质点振动的周期和振幅分别是多少？

图2

解析 由于质点先后以相同的动量依次通过A和B两点历时2s，则质点在A和B两

点速度大小相同，方向也相同，A和B两点关于平衡位置对称，则由AO和OB所用时间都为0.5s。质点通过B点后再经过1s第二次通过B点，由Bb为0.5s。则T 1s，所以周期T=4s。在这2s内，质点通过和总路程为12cm，则4

2A=12cm，A=6cm。

3）利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性

[例3] 劲度系数为K的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的高度为h。用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则

A．运动过程中距地面的最大高度为2h B．球上升过程中势能不断变小

C．球距地面高度为h时，速度最大 D．球在运动中的最大加速度是kh/m

解析 因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h，利用离平衡僮速度相同的两点位移具有对称性，最高点速度为零时距平衡位置也为h，所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h，由于球的振幅为h，由a kkx可得，球在运动过程中的最大加速度为a h，球在上升过程中动能先增大后减小，由整个系统机mm

械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。所以正确答案为：ACD。

1