函数的一致连续性

第2 5卷第 1 1期 20 0 9年 1 1月

赤峰学院学报 (自然科学版 ) Ju a oC i n nvr t N tr c neE io ) o r lf h egU i sy( a a S i c dt n n f ei ul e i

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关于一元函数一致连续性的讨论 刘勇 (苏电大江 摘

张家港学院，江苏张家港

2 50 ) 160

要：函数的一致连续性是数学分析的一个重要概念，对这一概念的深刻理解与掌握能够很好地促进数学分析的学

习.首先. - l t L￣数一致连续的定义和 Catr h- no定理出发，讨论一元函数在有限区间、限区间及一般区间上的一致连续性，无得出在这些区间上一元函数一致连续的一些充分条件和充要条件，并对其中某些结论作了说明. 关键词：函数；一致连续；限区间；有无限区间；一般区间中图分类号： 7 014文献标识码： A文章编号：6 3 2 0 2 0 ) 1 0 0 - 4 17— 6 X( 09 1- 07 0

函数的一致连续性是数学分析的一个重要概念，般教一材只给出一元函数在闭区间上一致连续的充分条件与二元函数在有界闭域上一致连续的充分条件，这对一致连续的理解与应用带来不便.本文试着在书中定理的基础上做进一步讨论，主要讨论一元函数的一致连续性。 1一元函数在有限区间上的一致连续性

所以 f区间[b一致连续 .在 a],上 定理 2函数 f) a ) i在fb上一致连续的充要条件是： x,函数 f) ab (在( ) x,上连续且 f+ ) ( o与一 )存在 . a o均 证明必要性：设函数 f ) a ) (在(’上一致连续， x b则对 V￡> 0 8, Vx,∈ a ) I-”<8时， lx一(”<e,>0对 ’”,, x X l x b当 l有 f’f ) . () x l

所以对 Vxx∈(b, xx∈(, 6, I一”<8故有 f 0,” 8 )” a+ ) x x1,’,当， a有 f ( x 一

定义 1设函数 f( x】是定义在区间 I的函数.若对上 Ve, 8 8￡>O使得对 Vxx EI>O= ( ), ’”,,只要 I一” x x1’<8时，就 有 I’ f”<e f ) ( ),函数 f区间 I (一 x l则称 x在一致连续.

f”<8由柯西收敛准则知 f+ )l

x在. () . xl ( 0=i f ) a m (存同理可证一 )l f ) O=i (存在. m x充分性：令 fa 0, a f+)= ( x

定理 1 ( n r C t定理)函数 f区间 a] ao若在，上连续， f b则 在 I一致连续 .上

证明 ( 应用有限覆盖定理) f由在区间【b a],上连续性，任 给 e,每一点 x a】>O对 E[,, b都存在 8>0使得当 x∈u(8 ,’ x; 时， I f) .有 f ) (『 (一 x< x () 1

F){ )∈a) (=f, (b x (x, x i一 )=b Ox ,

由假设 f+ ) a O与一 ) 0都存在，以 Fx a i所 (在，￣连续， ) h从而 Fx在【b上一致连续， Fx (b上一致连续， f ) ( ) a],故 (在 a ) ),即 ( x在(,上一致连续. ab 1 注：此定理表明，在有限开区间上连续函数是否一致连续取决于函数在端点处附近的状态 .用本定理容易判断函应数 y= X

考开间合= ( )[】然是，虑区集 H U; I a) H【】 x x,.争 eb显 a b 的一个开覆盖'由有限覆盖定理，存在 H的一个有限子集

H{ i= } U )1 k= 8 l, i2 一

在 (,)一致连续， y s , lxy— 01上而：i n y n, == X l—X

在

覆盖了【b. a]’记 8￣ 。

(,上不一致连续 . 01 ) 推论 3函数 f ) a】a ) (在(,(, ) x b[b上一致连续的充要条件是

a{ 0 X"a,x 8 r>,VX【】-l, i争}对/∈, f n b I <

必属于} r中某开区间，设

函数 f ) (b(, ) (在 a]a ) x,【b上连续且 f+ )一 ) ( 0( 0) . a f存在 定理 4 f )限区间 I (在有 x上一致连续甘 Ve,将 >O都可 1分成有限个小区间，使得 f ) (在每个小区间上任意两点的函 x

x (即xi争’ x t, E i '< U, - x 此时有

数值之差绝对值都小于 s . 证明必要性：由于 f ) (在有限区间 I x上一致连续，定依义有 Ve, 8 0当 x,∈I I一： 8时， I . f’ 8>O >, t1, x xI x且。<有 f ) (), (一 x< x

.≤’l一< 争争8 - x x8≤+= x -+ + i I 1 1

故由f)同时有： 1式

I’ l争和I”f)孚 f)< (一 x f )(f (一< x 由此得 lx一( ) . f’f”l () x<8

将I=]等： I<<…t1=由作n【+分= l tl<一t. 1 a< ii n<b … -< 于 t t1鱼二a<因而对【 1 i。= _ 8 -一 t .任意两点 xl’有 Irxl I内+’ 2 x’≤,,。 I x ,

tt<,有 Ix)f’l . i¨ 8故 - f’ (< ( x 8一 一

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一