第二章晶格振动习题
第二章晶格振动习题
第二章晶格振动习题
1、 在一维有限原子链上放置五个等距的质量为m的原子，首尾二个固定不动，中间三个振动时偏离平衡位置的位移分别为x1、x2、x3，求证运动方程是：
x 2x x2 01 1
mm
x x 2x x3 0 212
mmm
x x 2x3 0 3m2
m
并证明三个正则频率是 12 (2 2)恢复力常数。
2、金属中的原子振动，在简单金属中，我们可以构想一个具有德拜频率的粗略的模型；考虑沉浸在均匀传导电子海中质量为M，电荷为e的点状金属正离子。想象这些离子在正常格点上处于稳定平衡，如果一个离子相对于它的平衡位置移动一段小距离r，那么恢复力多半来自以平衡位置为中心，以r为半径的球内的
3
负电荷。把离子（或传导电子）的粒子数密度取为( R3) 1，此式定义了R。
4
m
2
2； 2
m
； 32 (22)
m
，式中 为
e22
（1）证明单个离子进行振动的频率为 ()；
MR3
1
（2）对钠粗略地估计这个频率的值；
（3）根据（1）、（2）估计金属中声速的数量级。 提示：金属Na为bcc结构，其原子半径为rm = 1.86 Å。
3、模式密度的奇点。假定在三维情况下，在q＝0附近，一个光学支的色散关系具有 (q) 0 Aq2的形式。证明，对于 0，模式密度
f( )
V2
()( 0 )1/2；对于 0，f( ) 0。此时模式密度不连续。 33/2
(2 )A
1
4、设晶体中每个振子的零点振动能是 ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。
2
5、一维晶格和层形晶格的热容。
（1）证明：对于低温T D，一维单原子晶格的德拜近似热容正比于
T， D
