导数的应用

1．函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性

注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。

(2)求函数单调区间的步骤 ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值

(1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②极大值与极小值判断

3．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；

④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 4．函数的最值

(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，b］的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 7. 注意事项

（1）函数图像看增减，导数图像看正负。 （2）极大值不一定比极小值大。

高阶导数的求法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 一般用来寻找解题方法。 【例题解析】

考点1 导数的概念【例1】．

f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是 3

【例2】.设函数f(x) x a,集合M={x|f(x) 0},P={x|f'(x) 0},若MP,则实数a的取值范围是 ( )

x 1

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 ：若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 【例3】.已知函数（I）求a数

2

11

，，(1，3]内各有一个极值点． f(x) x3 ax2 bx在区间[ 11)

32

2

（II）当a 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1 4b的最大值；，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函

，求函数f(x)的表达y f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧）