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2000年全国高中数学联赛试题

第一试

（10月15日上午8:00-9:40）

一、 选择题

本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2

2

10-x

=x 10},则B A 是 【答】（ ）

(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3

α

＞cos

3

α

,则

3

α

的取值范围是 【答】（ ）

(A) (2k π+

6π,2k π+3π

), k ∈Z (B) (32πk +6π,3

2πk +3π),k ∈Z

(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z

3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边

三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)

33 (B) 2

3

3 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方

程bx 2-2ax +c =0 【答】（ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5

4

35+=x y 的距离中的最小值是 (A)

17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 30

1

【答】（ ） 6．设5

sin

5

cos

π

π

ωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 【答】（ ）

(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7．arcsin(sin2000 )=__________.

8．设a n 是(3-n

x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则n

n

n a a a 333(lim 3322+++∞→ )=________.

9．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.

10． 在椭圆122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若