第９卷 第３期２００６年６月

宿州教育学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｕｚｈｏｕＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ

Ｖｏｌ．９，Ｎｏ．３Ｊｕｎ．２００６

粗糙集理论及其应用

项响琴１

（１．合肥学院

［摘

汪小寒２

２．安徽师范大学

安徽芜湖

安徽合肥 ２３００２２２４１０００）

要］粗糙集理论是一种新型的处理模糊和不确定知识的数学工具，已经在很多领域得到了广泛的应用。详细介绍了粗

不确定性

决策分析

知识约简

糙集理论的基本内容，并且给出了粗糙集理论在决策分析方面的一个应用实例，很好的证明了该理论的有效性。

［关键词］粗糙集

［中图分类号］Ｏ１５９［文献标识码］Ａ［文章编号］１００９—８５３４（２００６）０３—０１３２—０１

一、引言

粗糙集（ＲｏｕｇｈＳｅｔ，ＲＳ）理论是波兰数学家Ｐａｗｌａｋ①

在１９８２年提出的，作为一种较新的软计算方法，粗糙集理论是继概率论，模糊集，证据理论之后的又一个处理不确定性的数学工具。它能够分析和处理不一致性、不完整性和不确定性等不完备信息。粗糙集近年来越来越受到重视，是当前国际上人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一。其有效性已在许多科学与工程领域的成功应用中得到证实。

对于人工智能中的不确定问题，人们提出了一些解决方法，包括统计方法、模糊集理论等，但这些方法都有一些内在缺陷或限定范围，不足以解决这些不确定性问题。例如，基于统计的方法在理论上还令人难以信服，而模糊集方法则存在一个本质问题即如何确定成员隶属度。相比之下，粗糙集方法的优势在于它不需要任何预备的或额外的有关数据信息。如统计中要求的先验概率和模糊集中要求的隶属度，因此其算法具有简单、易于操作等特点。目前粗糙集理论已经在数据挖掘、机器学习、过程控制、决策分析、模式识别等科学与工程领域取得了成功的应用。

二、粗糙集基本理论（一）知识及等价关系

设Ｕ≠Φ是我们感兴趣的对象组成的有限集合，称为论域。任何子集Ｘ#Ｕ称为Ｕ中的一个概念或范畴（认为空集也是一个概念）。Ｕ中的任何概念族称为关于Ｕ的抽象知识，简称知识②。

性可看作是一个等价关系③。

（二）上下近似集

若Ｘ(Ｕ，则称Ｒ＿（Ｘ）＝｛ｘ∈Ｕ∶［ｘ］Ｒ(Ｘ｝为Ｘ的下近似集，Ｒ－（Ｘ）＝｛ｘ∈Ｕ∶［ｘ］Ｒ∩Ｘ≠Φ｝为Ｘ的上近似集。

ｐｏｓＲ（Ｘ）＝Ｒ－（Ｘ）称为Ｘ的Ｒ正域，ｎｅｇＲ（Ｘ）＝Ｕ－Ｒ－（Ｘ）称

为Ｘ的Ｒ负域④。

在粗糙集中，下近似可以解释为由那些根据现有知识判断出肯定属于Ｘ的对象所组成的最大集合，上近似可以解释为由那些根据现有知识判断出可能属于Ｘ的对象所组成的最小集合⑤。

（三）知识表达系统

四元组Ｓ＝（Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ）是一个知识表达系统，其中：

Ｕ：对象的非空有限集合，称为论域；Ａ：属性的非空

有限集合；Ｖ＝

’Ｖ，Ｖ，

ｕ∈Ａ

ａ

ａ

是属性ａ的值域；ｆ∶Ｕ×Ａ→Ｖ是一

个信息函数，它为每个对象的每个属性赋予一个信息值，即

来代替Ｓ＝（Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ）。知识表达系统在智能数据处理中占有十分重要的地位。

知识表达系统的数据以关系表的形式表示。关系表的行对应要研究的对象，列对应对象的属性，对象的信息是通过指定对象的各属性值来表达。容易看出，一个属性对应一个等价关系，一个表可以看作是定义的一族等价关系，即知识库②。

（四）决策表

Ｘ１，Ｘ２…，Ｘｎ%一个划分定义为：Ｃ＝$，使得Ｘ#Ｕ，

称为划分Ｘｉ≠Φ，ＸｉＩＸｊ＝Φ，对ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，且’Ｘｉ＝Ｕ。

ｉ＝１ｎ

性子集，分别称为条件属性和决策属性，具有条件属性和决策属性的知识表达系统可表达为决策表Ｔ＝（Ｕ，Ｒ，Ｃ，

Ｃ的一个等价类。Ｕ上的一族划分，称为关于Ｕ的一个知Ｄ）。关系ＩＮＤ（Ｃ）和关系ＩＮＤ（Ｄ）分别称为条件类和决策

④

识库。Ｕ上的一个划分与其上的一个等价关系是等价的。类。

（五）核和知识约简（下转１３５页）每一个等价关系描述的是论域Ｕ上的某一个属性，即属

!［收稿日期］２００６－４－３

［作者简介］项响琴（１９７６—），女，安徽桐城人，合肥学院计算机科学与技术系助教。

汪小寒（１９７８—），女，安徽枞阳人，安徽师范大学计算机科学与技术系助教，安徽大学计算机科学与技术学院在读研究生。

１３２

Ａ

ａ

∈Ａ，ｘ∈Ｕ，ｆ（ｘ，ａ）∈Ｖａ。

知识表达系统也称为信息系统，通常也用Ｓ＝（Ｕ，Ａ）

Ｓ＝（Ｕ，Ｒ）为一知识表达系统，且Ｃ，Ｄ,Ｒ是两个属