习题三

3.1解释基本概念：位移插值函数、位移模式、单元刚度矩阵及其刚度系数、单元刚度矩阵的对称性和奇异性、结构刚度矩阵的集成、单元载荷向量、有限元解的收敛准则、位移解的下限性质。

答：位移插值函数：建立以单元结点位移表示的单元内各点位移的表达式，选择一个简单的单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元结点位移通过插值而获得。

位移模式：单元位移模式的一般表达式为{d(x,y)}=[f(x,y)]a

单元刚度矩阵及其刚度系数:R=kδ是表示单元的结点力和结点位移之间关系的刚度方程，k就是单元刚度矩阵k=

单元刚度矩阵的对称性和奇异性：对称性是指第j个单位位移分量引起的第i个结点力分量等于由第i个单位位移分量引起的第j个结点力分量。奇异性：指单元刚度矩阵不存在逆矩阵。

结构刚度矩阵的集成：对N个经推广的单元刚度矩阵进行求和，叠加，得到结构整体刚度矩阵。有限元解的收敛准则：满足三个条件1、位移模式包含单元的刚体位移2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续，且在相邻单元之间的位移必须协调

位移解的下限性质：对于一个给定的位移模式，其刚度系数是数值比精确值要大。所以在给定的载荷之下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小。因此细分单元网格，位移近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。

T

B∫∫DBtdxdy

ee

3.11如图所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0×105MPa泊松比µ=0.3。

试求插值函数矩阵N,应变矩阵B,应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke，并验证K

e的奇异性。

解：因为1、2、3点的坐标为（2，2）、（10，2）、（2，6）可知道x1=2×10m,y1=2×10m；

2 2

x2=10×10 2m,y2=2×10 2m；x3=2×10 2m,y3=6×10 2m；N=[f(x,y)]A 1=

1

(ai+bix+ciy)2

22

平面三角形单元的面积2 =102=32

26

a1=x2y3 x3y2=56×10 4m2；b1=y2 y3= 4×10 2m；c1=x3 x2= 8×10 2m；

a2=x3y1 x1y3= 8×10 4m2；b2=y3 y1=4×10 2m；c2=x1 x3=0；