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拉格朗日乘数法应用举例

拉格朗日乘数法应用举例

4.1 简述 三元函数条件极值的拉格朗日乘数法

设函数u f(x,y,z)，在条件 (x,y,z) 0, (x,y,z) 0下的最大值或最小值 首先构造函数F(x,y,z, , ) f(x,y,z) (x,y,z) (x,y,z)，然后求解

F x F y F z

f 0 x x x f 0 y y y f 0 z z z F

(x,y,z) 0 F

(x,y,z) 0

z, ,中(x,y,z)是u f(x,y,z)在条件所有满足此方程的解(x,y,

(x,y,z ) 0,x(y ,z下可能的极值点。,最后在所有可能的极值点中求出最大值或最小值。

4.2 例一（柯布-道格拉斯生产函数）

abc

Q qxx x12n在经济学中有一类叫做柯布-道格拉斯的生产函数，为产出其

中(0 a,b, c 1)，即在投入为(x1,x2, xn)时的产出函数，一般的xi对应的单位成本为pi，我们假设xi可分割（既不必一定取整数），一般有成本为P,即有约束条件p1x1 p2x2 pnxn P，x1,x2, xn 0

即求解

n

maxQ q xiAi

i 1

n

pixi P i 1

q,Ai,xi,P,pi 0 其中i 1,2, n 根据拉格朗日乘数法，构造有函数

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