七道小题 一一析之 1.设集合A {x

x 1

0}，B {x a x b a}，若“a 1”是“A B ”的充分条件，x 1

则b的取值范围为____________．

分析:易得A {x 1 x 1}，B {xb a x b a}，“a 1”是“A B ”的充分条件等价于当a 1时，有A B ，此时B {xb 1 x b 1}，为避免讨论之烦，可从反面攻之． 当A B 时，有b 1 1或b 1 1，b 2或b 2．于是，所求b的取值范围为( 2,2)． 点评：此题改编自一道普通的集合小题： 设集合A {x

x 1

0}，B {x 1 x b 1}，若A B ，求b的取值范围 x 1

但却把“充分条件”这一知识点巧妙地安插进来，而且是那么的恰如其分．

2.已知定义在( 1,1)上的函数f(x)的导函数f (x) 4 3cosx，且f(0) 0，如果

f(1 a) f(1 a2) 0，则实数a的取值范围为（ ）

A

． B．(0,1) C．( ,1) (2, ) D．( , 2) (1, ) 分析：f(x)

f (x)dx (4 3cosx)dx 4x 3sinx C，C为常数，又f(0) 0，故C 0，

2

则f(x) 4x 3sinx，为( 1,1)上的奇函数和增函数．下面就轻车熟路了，选A． 点评：此题改变自一道陈题：

已知f(x)为定义在( 1,1)上的奇函数，且为增函数，解不等式f(1 a) f(1 a) 0

但它不直接告诉你f(x)的性质，而是将不定积分融入其中，这是新课标中新增的内容，难度不大．由

f (x)的解析式积得f(x)的解析式，再自行观察得到f(x)的基本性质，称得上改编的上乘之作． 3.设函数f(x)的定义域为D，如果存在实数k，使得对任意x D，都有x k D，且

． f(x k) f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k阶增函数”

2

（1）如果定义域为[ 1, )的函数f(x) x为[ 1, )上的m阶增函数，求m的取值范围． （2）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) x a a，其中a为正常数，若f(x)

为R上的2阶增函数，求a的取值范围． 分析：（1）由“m阶增函数”的定义知，对任意x [ 1, )，都有x m [ 1, )，得m 0，且有f(x m) f(x)恒成立，即(x m) x对任意x [ 1, )恒成立，化简得m 2x，则

2

2

m 2，即m的取值范围为(2, )．

（2）该问有一定难度，数形结合是必然趋势．如图1，f(x)为R上的2阶增函数，则要保证对任意x R都有x 2 R，且f(x 2) f(x)恒成立．

当x ( , 3a) (a, )时，恒有f(x 2) f(x)．下面着重考察x [ 3a,a]：一方面，当

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．另一方面，当a 时，注意到平行四22

边形ABCD中AB CD 4a 2，则有f(x 2) f(x)对任意的x [ 3a,a]恒成立．综上，a的

1

取值范围为(0,)．

2

x a时，由f( a 2) f( a)知 a 2 3a，a

点评：本题为信息题，考察学生接受、理解以及运用信息的综合能力，但其本质仍为数学中的恒成立问题．第（2）难度不小，需仔细分析方能抓住重点，着重研究，数形结合，从正反两个方面论述得到a的取值范围．