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初中数学竞赛专题辅导(因式分解)

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初中数学竞赛专题辅导 因式分解（一）

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）； （2）a2±2ab＋b2＝（a±b）2；

（3）a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）； （4）a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）． 下面再补充几个常用的公式：

（5）a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝（a＋b＋c）2；

（6）a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－bc－ca）；

（7）an－bn＝（a－b）（an1＋an2b＋an3b2＋…＋abn2＋bn1）其中n为正整数；

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（8）an－bn＝（a＋b）（an1－an2b＋an3b2－…＋abn2－bn1），其中n为偶数；

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（9）an＋bn＝（a＋b）（an1－an2b＋an3b2－…－abn2＋bn1），其中n为奇数．

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运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

（1）－2x5n1yn＋4x3n1yn2－2xn1yn4；

－

－

＋

－

＋

（2）x3－8y3－z3－6xyz；

（3）a2＋b2＋c2－2bc＋2ca－2ab； （4）a7－a5b2＋a2b5－b7．

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