初中数学竞赛因式分解专题

初中数学竞赛专题——因式分解

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a-b=(a+b)(a-b)； (2)a±2ab+b=(a±b)； (3)a+b=(a+b)(a-ab+b)； (4)a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数； (8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数； (9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x

3

5n-1nn

n

n-1

n-2

n-32

n-2

n-1

n

n

n-1

n-2

n-32

n-2

n-1

n

n

n-1

n-2

n-32

n-2

n-1

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

2

y+4x

3

3n-1n+2

y-2xy；

n-1n+4

(2)x-8y-z-6xyz； (3)a+b+c-2bc+2ca-2ab； (4)a-ab+ab-b．

解 (1)原式=-2xy(xn-2xny+y) =-2xy[(xn)-2xny+(y)] =-2xy(xn-y) =-2xy(x-y)(x+y)． (2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

2

2

2

2

2

2

3

3

3

n-1n

n

2

n

2

n-1n

2

22

n-1n

2

2

2

2

22

n-1n

4

2

2

4

7

52

25

7

2

2

2

3