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带电粒子在电磁场中运动的对称美赏析

大自然奇妙而又神秘的对称美普遍存在于各种物理现象、物理过程和物理规律中．从某种意义

上讲，物理学的每一次重大突破都有美学思想在其中的体现．用对称性思想去审题，从对称性角度去分析和解决问题，将给人耳目一新的感觉．本文通过对带电粒子在电磁场中的运动问题的分析，体会其中的美学思想和对称美的感受．

 一、一片绿叶

例1 如图1所示，在ｘＯｙ平面内有很多质量为ｍ、电量为ｅ的电子，

从坐标原点O不断以相同的速率ｖ０沿不同方向平行ｘＯｙ平面射入第Ⅰ象

限．现加一垂直ｘＯｙ平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些

入射电子穿过磁场都能平行于ｘ轴且沿ｘ轴正方向运动．求符合条件的磁

场的最小面积．（不考虑电子之间的相互作用）

解析: 如图2所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为Ｒ＝ｍｖ０／

ｅＢ．在由O点射入第Ⅰ象限的所有电子中，沿ｙ轴正方向射出的电子转过1

／4圆周，速度变为沿ｘ轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界．下面确定

磁场区域的下边界． 设某电子做匀速圆周运动的圆心Ｏ′和Ｏ点的连线与

ｙ轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿ｘ轴正方向，其射出点

（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（ｘ、ｙ）．由图中几何关系可得

ｘ＝Ｒｓｉｎθ，ｙ＝Ｒ－Ｒｃｏｓθ，

２２２消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为 ｘ＋（Ｒ－ｙ）＝Ｒ（ｘ＞0，ｙ＞0）．

这是一个圆的方程，圆心在（0，Ｒ）处．磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积．磁场的最

２２２２２２小面积为 Ｓ＝2×（（1／4）πＲ－（1／2）Ｒ）＝（π－2）ｍｖ０／（2ｅＢ）．

欣赏 由两条圆弧所围的磁场区域像一片嫩绿的树叶，青翠欲滴!

二、一朵梅花

例2 如图3所示，两个共轴的圆筒形金属电极，其上均匀分布着平行

于轴线的四条狭缝ａ、ｂ、ｃ和ｄ，外筒的外半径为ｒ．在圆筒之外的足

够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度大小为Ｂ．在两极

间加上电压，使两筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为ｍ、带

电量＋ｑ的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发，初速度为零．如

果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两极之间的电压

U应是多少?（不计重力，整个装置在真空中）

解析: 如图4所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用

下加速，沿径向穿出狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周

运动．粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝ｄ．只要穿过了ｄ，粒

子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经ｄ重新进入磁场区，然后

粒子以同样方式经过ｃ、ｂ，再经回到S点．设粒子进入磁场区的速度大

２小为ｖ，根据动能定理，有 ｑＵ＝（1／2）ｍｖ．

设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定

２律，有ｑｖＢ＝ｍｖ／Ｒ．

由前面的分析可知，要回到S点，粒子从ａ到ｄ必经过3／4圆周，所以半径R必定等于筒的

２２外半径ｒ，即Ｒ＝ｒ．由以上各式解得：Ｕ＝ｑＢｒ／2ｍ．