椭圆与双曲线的性质

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若Px2y2

x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2 b

2

1上，则过P0的椭圆的切线方程是a2 b2 1. 6.

x2y2

若P0(x0,y0)在椭圆a2 b2 1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦

PPx0xy0y

12的直线方程是a2 b

2 1.

7.

x2y2

椭圆a2 b

2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 F1PF2 ，

则椭圆的焦点角形的面积为S2

F1PF2 btan2

.

8.

x2y2

椭圆a2 b

2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ

分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

是椭圆x211. ABy2

a2 b2 1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

b2

kOM kAB a

2，

即K b2x0

AB

a2y。

椭圆

x2y2

12. 若P0(x0,y0)在a2 b2

1内，则被Po所平分的中点弦的方程是x22

0xy0yxa2 0y0b2 a2 b2. 13. 若Px2y20(x0,y0)在椭圆a2 b

2 1内，

则过Po的弦中点的轨迹方程是x2y2x0xy0ya2 b2 a2 b2. 双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P

在左支） 5.

Px2y2

若0(x0,y0)在双曲线a2 b

2 1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

x0xy0y

a2 b

2 1. 6.

Px2y2

若0(x0,y0)在双曲线a2 b

2 1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切

点为PPxxyy

1、P2，则切点弦1P2的直线方程是0a2 0b

2 1.

7.

双曲线x2y2

a2 b

2 1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一

点 F1PF2

，则双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2 b2

cot 2

. 8.

x2y2

双曲线a2 b

2 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1( c,0) , F2(c,0)

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a.