固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3.1已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，μnj=ajsin(ωjt_naqj+σj)，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即
j
j
μn=∑μnj=∑ajsin(ωjt+naqj+σj) （1）
2*2*
= ∑μnj ∑μnjμn =∑μnj+∑μnj μnj′
jjjj≠j′
由于μnj μnj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以μn=
2
∑μ
j
2
nj
由于μnj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为
μ2j=
1
T0
∫
T0
a2jsin(ωjt+naqj+σj)dt=
12
aj （2） 2
已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为
1Tnj=
T0
∫
L
dx∫
T0
1 dμnj 2 ρwja2T01j2
dtLaωtnaqσdtLa2=sin()ρw2=++ ρ jjjjjj ∫0dtT224 0
其中L是原子链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。 所以Tnj=
w
因此将此式代入（2）式有μnj=
所以每个原子的平均位移为
w
112
ρw2La=KT （3） jj42
2
w
3.
KT
2
ρLωj
j
hc
j
c.e
mo
22
μn==∑μnj=∑
KTKT1
= ∑2
ρLω2ρωLjjj
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应.
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