第二章实数知识点梳理

一、算术平方根、平方根、立方根的定义、性质及其之间的区别联系

1、算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就

叫做a的算术平方根.记为“x=a”，读作“x等于根号a”.。例如：正数 3

的平方等于9， 9的算术平方根只有一个是3，记作=3.

特别地规定0的算术平方根是0，即=0。

因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等于a，这个正数x就叫做a

的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.

算术平方根的性质：一个正数有一个算术平方根；0有一个算术平方根是0，负

数没有算术平方根.

2、平方根的定义:若一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方

根，也叫二次方根，记作“x=±a” ，读作“x等于正负根号a”。例如：3

和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有

两个3和－3，±9=±3。

平方根的性质：一个正数有两个平方根，一个是它的算术平方根，另一个是它的

算术平方根的相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.

3、立方根的定义;若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的

立方（也叫三次方根），记为“x=a”，读作“x等于三次根号a”。. 如23 8

则=2。

立方根的性质：一个正数有一个立方根，是正数；0有一个立方根是0；一个负

数有一个立方根，是负数。

4、平方根与算术平方根的联系与区别

平方根的定义中是有一个数x的平方等于a，则x叫a的平方根，x没有肯

定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a，

则x叫a的算术平方根，这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a，这是它们的

相同之处，而x的要求不同，这是它们的不同之处.

联系：

(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算

术平方根都是0.

区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数

a的非负平方根叫a的算术平方根”.

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.

(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a.