平行四边形

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

⑴连结BF ⑵BF DE

⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AO OC,DO OB ∵AE FC ∴AO AE OC FC 即OE OF ∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BF DE

C

A

图1

A

图2

B

E

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC 12， BD 10，AB m，那么m的取值范围是（ ）

A1 m 11 B2 m 22 C10 m 12 D5 m 6

解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在 ACE中, AC 12,CE BD 10,AE 2AB 2m

∴12 10 2m 12 10，即2 2m 22 解得1 m 11 故选A

第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形

求证：AC BD AB BC CD DA

证明：过A,D分别作AE BC于点E，DF BC的延长线于点F

∴AC AE CE AB BE (BC BE) AB BC 2BE BC BD DF BF (CD CF) (BC CF) CD BC 2BC CF 则AC BD AB BC CD DA 2BC CF 2BC BE ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD且AB CD,AD BC

∴ ABC DCF ∵ AEB DFC 90

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