等差数列

一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。

*

1.设数列 an 的前n项和为Sn．已知a1 5，an 1 Sn 3n，n N．设bn Sn 3n，

求数列 bn 的通项公式；

解：依题意，Sn 1 Sn an 1 Sn 3n，即Sn 1 2Sn 3n， 由此得Sn 1 3n 1 2(Sn 3n)．

因此，所求通项公式为bn Sn-3n 2n。

2．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 3．已知等差数列{an}的公差d 0，且a1,a3,a9成等比数列，则

a1 a3 a913

．

a2 a4 a1016

【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。 2.补充的一条性质

s奇n

1）项数为奇数2n 1的等差数列有： s s an a中，s2n 1 (2n 1)an

s偶n 1奇偶sa

2）项数为偶数2n的等差数列有：奇 n，s偶 s奇 nd s2n n(an an 1)

s偶an 1

an 1 an d（定义）

2an 1 an an 2

3.等差数列的判定：{an}为等差数列

an An B（关于n的“一次函数”） S An2 Bn（缺常数项的“二次函数”） n

即：｛an｝ an 1 an d(d为常数） 2an an 1 an 1(n 2,n N*)

an kn b sn An2 Bn；

4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d； 四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.

5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=

an a1a am

，d=n，由此联想点列（n，an）所在直线的

n mn 1

斜率.2）点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Sn pn2 qn上。其中，公差不为0. 6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列 an 的首项a1 0，公差d 0，则前n项和Sn有最大值。 （ⅰ）若已知通项an，则Sn最大

an 0；

a 0 n 1

q

的非零自然数时Sn最大； 2p

2）若等差数列 an 的首项a1 0，公差d 0，则前n项和Sn有最小值

（ⅱ）若已知Sn pn2 qn，则当n取最靠近 （ⅰ）若已知通项an，则Sn最小

an 0

；

an 1 0