用构造法求数列通项公式
用构造法求数列通项公式
已知数列的递推公式，求其通项公式是数列中重要的题型之一，在近年的高考试卷中也经常出现此类题型，解决这个问题除验算—猜想—证明的方法外；利用公式的变形构造一个新数列来求解也是重要的手段，下面通过例题分析阐述常用的变形方法，供参考。
一、配凑构造
例1 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=求an.
解析：∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=即
n 2
Sn∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，整理得nSn+1=2(n+1)Sn,n
n 2
Sn(n=1,2,3……)，n
Sn 1SSS
=2·n，故数列{n}是以1=a1=1为首项，2为公比的等比数列，即
nnn 11
Snn-1
=2,Sn=n·2n-1，当n≥2时，an=Sn-S n-1=n·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时n
也适合，故an=(n+1)·2n-2n∈N*.
二、相除构造
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2);a1=an.
解析:当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-2 SnSn-1,两边同除以SnSn-1得
11- =2,又SnSn 1
1
,求通项2
111==2, ∴数列{}是以2为首项,2为公差的等差数列,则S1a1Sn111
=2+2(n-1)=2n, Sn=,由a1=,
2n2Sn
n≥2时,an=Sn-Sn-1=
111-=- ,二式不能合并.
2n2(n 1)2n(n 1)
三、平方构造
例3 已知函数f(x)=x2 4(x≤-2).(1)求f-1(x),(2)若a1=1,an=-f-1(an-1),求数列{an}的通项公式.
2
解析:(1)f-1(x)=- x2 4 (x≥0),(2)由an=-f-1(an-1),∴an=an 1 4,两边
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