椭圆知识点总结

1. 椭圆的定义：1,2

x2y2x acos 222

（1）椭圆：焦点在x轴上时2 2 1（a b c） （参数方程，其中 为参数），焦点在y轴

y bsin ab

y2x222

上时2 2＝1（a b 0）。方程Ax By C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

ab

2. 椭圆的几何性质：

x2y2

（1）椭圆（以2 2 1（a b 0）为例）：①范围： a x a, b y b；②焦点：两个焦点( c,0)；③

ab

对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准a2线：两条准线x

c

c2b2

； ⑤离心率：e ，椭圆 0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥通径

aa

22x0y0

2.点与椭圆的位置关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外 2 2 1；

ab

2222x0y0x0y0

（2）点P(x0,y0)在椭圆上 2 2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内 2 2 1

abab

3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：

0 直线与椭圆相交；（2）相切： 0 直线与椭圆相切； （3）相离： 0 直线与椭圆相离；

x2y2

1恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞）如:直线y―kx―1=0与椭圆）； 5m

4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径

r ed a ex0，其中d

2516

2

2

表示P到与F所对应的准线的距离。

如（1）已知椭圆x2 y2 1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：10/3）；

xy

1内有一点P(1, 1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP 2MF43

26

为_______（答：(； , 1)）

3

（2）椭圆

5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：S轴端点时，Smax的最大值为bc；

6、弦长公式：若直线若

之值最小，则点M的坐标

b2tan

2

c|y0|，当|y0| b即P为短

B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB

y kx b与圆锥曲线相交于两点A、

1 x2

，＝

y1,y2分别为

A、B的纵坐标，则

AB

＝

1

y1 y22k

，若弦AB所在直线方程设为

x ky b，则AB

y1 y2

。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦

半径之和后，利用第二定义求解。

x2y2

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆2 2 1中，以P(x0,y0)为

ab

b2x0

中点的弦所在直线的斜率k=－2；

ay0x2y2

1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：如（1）如果椭圆

369

x2y2

；（2）已知直线y=－x+1与椭圆2 2 1(a b 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在x 2y 8 0）

ab

直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

）；