排列组合问题的解法模型

排列组合问题的常见模型

一、相异元素不许重复的排列组合问题

这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。这类问题有如下一些常见的模型。

模型１：从n个不同的元素中每次取出m个不同元素作排列或组合，规定某k个元素都包含在内，则：

m kmm k 组合数：N1 Cn k 排列数：N2 AmCn k

例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下

列情形中，各有多种不同的选法？

（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．

解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中

5 3选出，故不同的选法有：N1 C12 3 36(种)

（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：

55 352N2 A5C12 3 A5C9 120 36 4320(种)

模型２．从n个不同的元素中每次取出m个不同元素作排列或组合，规定某k个元素都不包含在内，

mmmm 则： 组合数：N1 Cn k 排列数：N2 AmCn k An k

例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试

问下列情形中，各有多少种不同的选法？

(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．

解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：

773 N1 C15 C C 51010 120（种）

（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：

77N2 A15 5 A10 10 9 8 7 6 5 4 604800（种）

模型３．从n个不同的元素中每次取出m个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包

mm sm s含某k个元素中的某s个元素。则组合数：N1 Cn 排列数：N A2mCn k k

例3．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有甲当选，试问在

下列情形中，各有多少种不同的选法？

（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

解：（１）由于女同学中只有甲当选，所以还需４人，这４人要从男同学中选，因此不同选法有： N1 C12 3 C9 126(种)

（２）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：N2 A5C12 3 A5C9 15120(种)． 模型４．从n个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包

k sksk s含某r个元素中的s个元素。则：组合数：N1 CrsCn r 排列数：N2 AkCrCn r 55 1545 14

例４．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有１人当选，试问

在下列情形中，各有多少种不同的选法？

（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．