勾股定理全章知识点总结和典型例习题分析 一、基础知识点： １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 D

H 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

E

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 b②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定

cA

理

常见方法如下： ba方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

12

a

c

C

B

b

b

cb

a

a

Aa

1

S 4 ab c2 2ab c2，大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab

b22

Db

所以a2 b2 c2。

方法三：S梯形 (a b) (a b)，S梯形 2S ADE S ABE 2 ab c2，化简

12

12

12

B

Eab

C

得证。

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC中， C 90 ，则cb ，a;

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系; ③可运用勾股定理解决一些实际问题. ５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它