平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

⑴连结BF ⑵BF DE

⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AO OC,DO OB

∵AE FC ∴AO AE OC FC 即OE OF

∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BF DE

C

A

图1

A图2BE

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC 12， BD 10，AB m，那么m的取值范围是（ ）

A1 m 11 B2 m 22 C10 m 12 D5 m 6

解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在 ACE中, AC 12,CE BD 10,AE 2AB 2m

∴12 10 2m 12 10，即2 2m 22 解得1 m 11 故选A

第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形

求证：AC BD AB BC CD DA 222222